nach-
The action follows or repeats: catch up, repeat, check, think over, give in.
Grammar
Что даёт приставка
nach значит «после, вслед»: действие идёт за чем-то. nachholen «наверстать упущенное», nachmachen «повторять за кем-то, копировать», nachsehen «проверить, посмотреть ещё раз», nachreichen «донести позже».
nachdenken значит «размышлять»: мысль идёт следом за событием. nachgeben «уступить, поддаться».
Как она ведёт себя в предложении
Приставка отделяемая. В простом предложении она отрывается от глагола и встаёт в самый конец, а в прошедшем времени (Perfekt) между ней и глаголом встаёт ge: Ich denke darüber nach «я подумаю об этом», Ich habe lange darüber nachgedacht «я долго об этом думал».